슈타이너 내접 타원

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
- 3.1. 슈타이너 내접 타원과 슈타이너 외접 타원의 관계
4. 좌표 표현
- 4.1. 삼선좌표
- 4.2. 무게중심좌표
5. 기하학적 성질
6. 일반화
7. 예시
참조

1. 개요

슈타이너 내접 타원은 삼각형의 세 변의 중점을 접점으로 하는 유일한 내접 타원이다. 이 타원의 중심은 삼각형의 무게중심이며, 가역 아핀 변환에 의해 보존된다. 슈타이너 내접 타원은 삼각형의 면적의 ${\frac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}$배의 면적을 가지며, 모든 내접 타원 중 가장 큰 면적을 갖는다. 또한, 슈타이너 내접 타원은 중점 삼각형의 슈타이너 외접 타원과 같고, 슈타이너 타원의 축소된 형태이다. 슈타이너 내접 타원의 장축과 단축의 길이는 변의 길이를 통해 표현되며, 초점은 마든의 정리에 따라 결정된다. 슈타이너 내접 타원은 삼선좌표 및 무게중심좌표로 표현 가능하며, n-각형으로 일반화될 수 있다. 정삼각형의 경우 내접원과 일치한다.

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슈타이너 내접 타원
개요
슈타이너 내접 타원
정의	주어진 삼각형의 세 변의 중점에 접하는 유일한 타원
중심	삼각형의 무게 중심과 일치
성질	삼각형 넓이의 4/π 배의 면적을 가짐 삼각형의 각 변에 평행한 접선을 가짐
수학적 표현
삼각형 꼭짓점 좌표	(x₁, y₁), (x₂, y₂), (x₃, y₃)
타원 방정식 (매개변수 형식)	x = (a cos t + b cos(t + 2π/3) + c cos(t + 4π/3)) / 3, y = (a sin t + b sin(t + 2π/3) + c sin(t + 4π/3)) / 3 (여기서 a, b, c는 꼭짓점 벡터)
관련 개념
관련 도형	타원 삼각형
관련 정리	머든 정리
슈타이너 외접 타원	삼각형의 세 꼭짓점을 지나는 유일한 타원. 슈타이너 내접 타원과 밀접한 관계를 가짐.

2. 정의

삼각형 $ABC$ 의 세 변 $AB, BC, AC$ 의 중점을 각각 $D, E, F$ 라고 할 때, $D, E, F$ 를 접점으로 하는 삼각형 $ABC$ 의 내접 타원은 유일하게 존재한다. 이를 삼각형 $ABC$ 의 '''슈타이너 내접 타원'''이라고 한다.^[20]

임의의 삼각형 와 슈타이너 내접 타원(파란색), 슈타이너 타원(빨간색), 장축과 단축(분홍색 점선)

3. 성질

가역 아핀 변환은 삼각형의 슈타이너 내접 타원을 보존한다. 슈타이너 내접 타원을 갖춘 삼각형은 내접원을 갖춘 정삼각형과 아핀 합동이다.^[5]

슈타이너 내접 타원의 주요 성질은 다음과 같다:

슈타이너 내접 타원의 중심은 삼각형의 무게중심이다.^[10]^[14]
슈타이너 내접 타원은 삼각형의 모든 내접 타원 중 가장 큰 면적을 가지며, 그 면적은 원래 삼각형 면적의 ${\frac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}$배이다.^[14]^[15]
삼각형에 내접하는 이차 곡선 중 2변 이상의 중점에 접하는 것은 슈타이너 내접 타원뿐이다.^[14]
복소 평면에서 삼각형의 세 꼭짓점의 좌표를 영점으로 가지는 3차식의 도함수의 영점이 슈타이너 내접 타원의 초점이 된다(Marden's theorem^영어 참조).^[12]
장축은 세 꼭짓점으로부터의 거리가 가장 짧아지는 직선상에 있다.^[15]
슈타이너 내접 타원의 두 축은 키퍼트 포물선에 접한다.
슈타이너 내접 타원의 두 초점은 17점 3차 곡선상에 있다.^[17]
슈타이너 내접 타원의 장축과 단축의 길이, 초점 간의 거리는 복잡한 수식으로 표현된다.^[10]
클라크 킴벌링의 "BICENTRIC PAIRS OF POINTS"에는 P(118), U(118)로 등록되어 있으며, 무게중심 좌표는 복잡한 수식으로 표현된다.^[18]

삼각형 △ABC에 내접하는 타원의 초점을 ''P'', ''Q''라고 하면 다음 식이 성립한다.^[19]

:

\frac{\overline{PA} \cdot \overline{QA}}{\overline{CA} \cdot \overline{AB}} + \frac{\overline{PB} \cdot \overline{QB}}{\overline{AB} \cdot \overline{BC}} + \frac{\overline{PC} \cdot \overline{QC}}{\overline{BC} \cdot \overline{CA}} = 1.

슈타이너 내접 타원은 △ABC와 무게중심에 대한 구점 원뿔 곡선이다.

3. 1. 슈타이너 내접 타원과 슈타이너 외접 타원의 관계

삼각형 ABC의 세 변 AB, BC, AC의 중점을 D, E, F라 할 때, 삼각형 ABC의 슈타이너 내접 타원은 중점 삼각형 DEF의 슈타이너 외접 타원과 같다.^[5]

삼각형의 슈타이너 내접 타원은 스케일 팩터가 1/2이고 중심이 무게중심인 ''축소된'' 슈타이너 타원이다. 따라서 두 타원은 동일한 이심률을 가지며 ''닮음''이다.^[5]

4. 좌표 표현

삼선좌표계와 무게중심좌표계에서 슈타이너 내접 타원을 방정식으로 나타낼 수 있다.

4. 1. 삼선좌표

삼선좌표계에서 변의 길이가 a, b, c인 삼각형에 대한 슈타이너 내접 타원의 방정식은 다음과 같다.^[1]

:

a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2-2abxy-2bcyz-2cazx = 0

여기서 x는 변의 길이가 a인 변에서 한 점까지의 거리에 임의의 양의 상수를 곱한 값이며, b와 c에 대해서도 동일한 곱셈 상수를 갖는다.^[10]

4. 2. 무게중심좌표

무게중심좌표계에서 슈타이너 내접 타원의 방정식은 다음과 같다.^[10]

:

x^2+y^2+z^2-2xy-2yz-2zx = 0

5. 기하학적 성질

슈타이너 내접 타원의 중심은 삼각형의 무게중심이며,^[10]^[14] 무게중심을 중심으로 하는 유일한 내접 타원이다.^[14]
모든 내접 타원 중에서 면적이 가장 크며, 원래 삼각형 면적의 $\frac{\pi}{3 \sqrt{3}}$ 배이다.^[14]^[15]
슈타이너 타원은 무게중심을 공유하며 닮음 관계이다. 닮음비는 1:2이고, 두 타원의 장축 및 단축은 각각 동일 직선상에 있다. 따라서 두 타원의 초점도 동일 직선상에 있으며, 이심률은 같고, 면적비는 1:4이다.
삼각형에 내접하는 이차 곡선 중 2변 이상의 중점에 접하는 것은 슈타이너 내접 타원뿐이다.^[14]
중점 삼각형의 슈타이너 타원이다.
△ABC와 무게중심에 대한 구점 원뿔 곡선이다.

5. 1. 장축과 단축

변의 길이가

a, b, c

인 삼각형의 슈타이너 내접 타원의 장반지름과 단반지름의 길이는 다음과 같다.^[1]

:

\frac{1}{6}\sqrt{a^2+b^2+c^2 \pm 2Z},

여기서

:

Z=\sqrt{a^4+b^4+c^4-a^2b^2-b^2c^2-c^2a^2}.

초점 간의 길이는 다음과 같다.^[10]

:

\frac{1}{3}\sqrt{Z}

마든의 정리에 따르면,^[3] 삼각형의 세 꼭짓점이 3차 다항식의 복소수 근이면, 슈타이너 내접 타원의 초점은 다항식의 도함수의 근이다.

슈타이너 내접 타원의 장축은 꼭짓점에 대한 직교 회귀 최적 적합 선이다.^[6]

삼각형의 무게중심과 제1, 제2 페르마 점을 각각

G, F_+, F_-

로 나타낸다. 삼각형의 슈타이너 내접 타원의 장축은

\angle F_+GF_-

의 내각 이등분선이다. 축의 길이는

|GF_-| \pm |GF_+|\! ;

즉, 페르마 점으로부터 무게중심까지의 거리의 합과 차이다.^[7]

삼각형의 슈타이너 내접 타원의 축은 삼각형의 변에 접하고 오일러 선을 준선으로 갖는 유일한 포물선인 키퍼트 포물선에 접한다.^[7]

삼각형의 슈타이너 내접 타원의 초점은 내접 타원의 장축과 단축을 중심으로 하고 페르마 점을 지나는 원의 교점이다.^[7]

5. 2. 초점

마든의 정리에 따르면, 삼각형의 세 꼭짓점이 3차 다항식의 복소수 근이면, 슈타이너 내접 타원의 초점은 그 다항식의 도함수의 근이다.^[3]^[12]

슈타이너 내접 타원의 장축은 꼭짓점에 대한 직교 회귀 최적 적합 선이다.^[6] 삼각형의 무게중심과 제1, 제2 페르마 점을 각각 G^영어, F+^영어, F-^영어로 나타낼 때, 슈타이너 내접 타원의 장축은 ∠F+GF-^영어의 내각 이등분선이다. 축의 길이는

|GF_-| \pm |GF_+|\! ;

인데, 이는 페르마 점으로부터 무게중심까지의 거리의 합과 차이다.^[7]

슈타이너 내접 타원의 축은 삼각형의 변에 접하고 오일러 선을 준선으로 갖는 유일한 포물선인 키퍼트 포물선에 접한다.^[7]

슈타이너 내접 타원의 초점은 내접 타원의 장축과 단축을 중심으로 하고 페르마 점을 지나는 원의 교점이다.^[7]

삼각형 △ABC^영어에 내접하는 모든 타원과 마찬가지로, 초점을 P^영어, Q^영어라고 하면 다음 식이 성립한다.^[8]

:

\frac{\overline{PA} \cdot \overline{QA}}{\overline{CA} \cdot \overline{AB}} + \frac{\overline{PB} \cdot \overline{QB}}{\overline{AB} \cdot \overline{BC}} + \frac{\overline{PC} \cdot \overline{QC}}{\overline{BC} \cdot \overline{CA}} = 1.

슈타이너 내접 타원의 두 초점은 17점 3차 곡선상에 있다.^[17]

5. 3. 내접 타원의 일반적인 성질

삼각형

ABC

에 내접하는 모든 타원에 대해, 초점을

P

와

Q

라고 하면 다음이 성립한다.^[8]

:

\frac{\overline{PA} \cdot \overline{QA}}{\overline{CA} \cdot \overline{AB}} + \frac{\overline{PB} \cdot \overline{QB}}{\overline{AB} \cdot \overline{BC}} + \frac{\overline{PC} \cdot \overline{QC}}{\overline{BC} \cdot \overline{CA}} = 1.

슈타이너 내접 타원의 중심은 원래 삼각형의 무게중심이며,^[10]^[14] 무게중심을 중심으로 하는 유일한 내접 타원이다.^[14]
슈타이너 내접 타원의 면적은 내접 타원 중에서 가장 크다. 그 면적은 원래 삼각형의 면적의 $\frac{\pi}{3 \sqrt{3}}$ 배이다.^[14]^[15]
슈타이너 타원은 무게중심을 공유함과 동시에 닮음 관계에 있으며, 닮음비는 1:2이고, 두 타원의 장축 및 단축은 각각 동일 직선상에 있다. 따라서 두 타원의 초점도 또한 동일 직선상에 있으며, 이심률은 같고, 면적비는 1:4이다.
삼각형에 내접하는 이차 곡선 중 2변 이상의 중점에 접하는 것은 슈타이너 내접 타원뿐이다.^[14]
슈타이너 내접 타원은 중점 삼각형의 슈타이너 타원이다.
슈타이너 내접 타원의 장축과 단축의 길이는 다음 식으로 나타낸다.^[10]

::

\frac{1}{6}\sqrt{a^2+b^2+c^2 \pm 2Z},

초점 간의 길이는 다음과 같다.

::

\frac{1}{3}\sqrt{Z}

단, Z는 다음 식으로 주어진다.

::

Z=\sqrt{a^4+b^4+c^4-a^2b^2-b^2c^2-c^2a^2}.

복소 평면에서 삼각형의 세 꼭짓점의 좌표를 영점으로 가지는 3차식을 생각했을 때, 슈타이너 내접 타원의 초점의 좌표는 그 3차식의 도함수의 영점이 된다(Marden's theorem|마덴의 정리^영어).^[12]
장축은 세 꼭짓점으로부터의 거리가 가장 짧아지는 직선상에 있다.^[15]
''G'', ''F''₊, ''F''₋를 삼각형의 무게중심과 두 개의 페르마 점이라고 한다. 슈타이너 내접 타원의 장축은 ∠''F''₊''GF''₋의 2등분선상에 있다. 또한 두 축의 길이는 |''GF''₋| ± |''GF''₊|라는 식으로 나타낸다.^[16]
슈타이너 내접 타원의 두 축은 키퍼트 포물선에 접한다.
슈타이너 내접 타원의 두 초점은 17점 3차 곡선상에 있다.^[17]
클라크 킴벌링의 "BICENTRIC PAIRS OF POINTS"에서는 P(118), U(118)로 등록되어 있으며, 무게중심 좌표는 다음 식으로 나타낸다.^[18] 즉,

::

V=2a^2b^2c^2Z^3, W=b^6c^6 + c^6a^6 + a^6b^6 - 3a^4 b^4 c^4 - (b^4c^4+ c^4a^4 + a^4b^4)Z^2,

::

f(a,b,c)=(b^2-c^2)(a^4-b^4c^4-a^2Z)+\sqrt{V-W}

로

::

f(a,b,c):f(b,c,a):f(c,a,b)\; ,\; f(a,c,b):f(b,a,c):f(c,b,a)

△ABC와 무게중심에 대한 구점 원뿔 곡선이다.

6. 일반화

삼각형의 슈타이너 내접 타원은 ''n''-각형으로 일반화될 수 있다. 일부 ''n''-각형은 각 변의 중점에서 각 변에 접하는 내부 타원을 갖는다. 마든의 정리는 여전히 적용된다. 즉, 슈타이너 내접 타원의 초점은 ''n''-각형의 꼭짓점을 영점으로 하는 다항식의 도함수의 영점이다.^[9]

7. 예시

정삼각형의 슈타이너 내접 타원은 내접원이다.^[1]

참조

_[1] 웹사이트 Steiner Inellipse http://mathworld.wol[...] MathWorld, A Wolfram Web Resource
_[2] 서적 100 Great Problems of Elementary Mathematics, Their History and Solution Dover, New York
_[3] 논문 An elementary proof of Marden's theorem http://mathdl.maa.or[...]
_[4] 웹사이트 Steiner Circumellipse
_[5] 서적 Mathematical plums Mathematical Association of America
_[6] 논문 Triangles, ellipses, and cubic polynomials http://www.geogebra.[...]
_[7] 간행물 Simple Relations Regarding the Steiner Inellipse of a Triangle http://forumgeom.fau[...]
_[8] 간행물 Proving a nineteenth century ellipse identity 2012-03
_[9] 간행물 On the derivative of a vertex polynomial http://forumgeom.fau[...]
_[10] 웹사이트 Steiner Inellipse
_[11] 서적 100 Great Problems of Elementary Mathematics, Their History and Solution http://webcatplus.ni[...] Dover, New York
_[12] 논문 An elementary proof of Marden's theorem http://mathdl.maa.or[...]
_[13] 웹사이트 Steiner Circumellipse
_[14] 서적 Mathematical plums Mathematical Association of America
_[15] 논문 Triangles, ellipses, and cubic polynomials http://www.geogebra.[...]
_[16] 간행물 Simple Relations Regarding the Steiner Inellipse of a Triangle http://forumgeom.fau[...]
_[17] 웹사이트 Thomson cubic https://bernard-gibe[...]
_[18] 웹사이트 BICENTRIC PAIRS P(118) https://faculty.evan[...] 2024-03-26
_[19] 간행물 Proving a nineteenth century ellipse identity 2012-03
_[20] 저널 A Simple Direct Proof of Marden’s Theorem Taylor & Francis 2014

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